Die Polynomdivision ist ein zentrales Thema, das in der 7. Klasse (1º ESO) im Bereich Algebra Grundlagen eingeführt wird. Auch wenn sie auf den ersten Blick kompliziert erscheinen mag, wird die Methode mit etwas Übung und einem klaren Verständnis der Schritte schnell logisch und leicht nachvollziehbar. In diesem Artikel zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie man Polynome dividiert, mit anschaulichen Beispielen und Übungen zur Vertiefung.
Unsere Erfahrung zeigt: Wie bei vielen Themen in der Mathematik ist Übung der Schlüssel zum Erfolg. Je mehr du übst, desto leichter wirst du die Polynomdivision beherrschen. Hier erklären wir dir den Ablauf im Detail und geben dir nützliche Tipps, um die Polynomdivision einfach zu verstehen und anzuwenden.
Was ist ein Polynom?
Bevor du mit der Division von Polynomen beginnst, ist es wichtig zu wissen, was ein Polynom überhaupt ist. Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus der Summe oder Differenz von Termen besteht, die Variablen mit unterschiedlichen Exponenten und numerischen Koeffizienten enthalten.
Beispiel:
3x³ + 5x² − 2x + 4 ist ein Polynom.
Hierbei ist:
- 3x³ der höchste Term (Grad 3),
- 5x² der Term zweiten Grades,
- −2x der lineare Term (Grad 1),
- 4 der konstante Term.
Der Grad eines Polynoms wird durch den höchsten Exponenten der Variable bestimmt.
Polynomdivision Schritt für Schritt
Die Polynomdivision ähnelt der schriftlichen Division von Zahlen. Es gibt ein Dividend, ein Divisor, einen Quotient und einen Rest. So gehst du vor:
Schritt 1: Ordne Dividend und Divisor
Sowohl Dividend (das Polynom, das geteilt wird) als auch Divisor (das Polynom, durch das geteilt wird) sollten in absteigender Reihenfolge der Grade sortiert sein.
Beispiel:
Teile 6x³ + 5x² − 4x + 3 durch x − 1.
Beide Polynome sind bereits korrekt geordnet.
Schritt 2: Teile den ersten Term
Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors:
6x³ ÷ x = 6x²
Das ist der erste Term des Quotienten.
Schritt 3: Multipliziere den Teilterm mit dem Divisor
6x² · (x − 1) = 6x³ − 6x²
Schritt 4: Subtrahiere das Ergebnis
(6x³ + 5x² − 4x + 3) − (6x³ − 6x²) = 11x² − 4x + 3
Der neue Dividend lautet jetzt: 11x² − 4x + 3
Schritt 5: Wiederhole den Vorgang
11x² ÷ x = 11x
11x · (x − 1) = 11x² − 11x
(11x² − 4x + 3) − (11x² − 11x) = 7x + 3
Schritt 6: Weiterrechnen bis kein Term mehr teilbar ist
7x ÷ x = 7
7 · (x − 1) = 7x − 7
(7x + 3) − (7x − 7) = 10
Der Quotient ist 6x² + 11x + 7
Der Rest ist 10
Somit ergibt sich:
(6x³ + 5x² − 4x + 3) ÷ (x − 1) = 6x² + 11x + 7 mit Rest 10.
Tipps zur Vereinfachung der Polynomdivision
- Termordnung beachten: Sortiere alle Terme nach absteigendem Grad. Fehlende Glieder solltest du mit dem Koeffizienten 0 ergänzen.
Beispiel: x³ − 5 wird zu x³ + 0x² + 0x − 5 - Schritt für Schritt teilen: Immer nur den ersten Term des aktuellen Dividenden durch den ersten Term des Divisors teilen. So behältst du leichter den Überblick.
- Ergebnis prüfen: Multipliziere am Ende Divisor × Quotient und addiere den Rest. Stimmt das Ergebnis mit dem ursprünglichen Polynom überein, ist deine Lösung korrekt.
- Üben mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden: Fang mit einfachen Beispielen an und steigere den Schwierigkeitsgrad nach und nach.
Übungen zur Polynomdivision (7. Klasse)
Übung 1
Teile: 4x³ + 3x² − 2x + 1 durch x + 1
Übung 2
Teile: 5x⁴ − 3x³ + x² + 7x − 4 durch x − 2
Übung 3
Teile: 2x³ − 5x² + 3x − 8 durch x − 3
Warum ist das Lernen der Polynomdivision wichtig?
Die Polynomdivision ist nicht nur eine zentrale Technik der Algebra, sondern auch ein wichtiger Baustein für weiterführende Themen wie algebraische Brüche, Polynomgleichungen oder Ableitungen im späteren Mathematikunterricht.
Darüber hinaus fördert sie das logische Denken und hilft dir, komplexe mathematische Abläufe strukturiert zu organisieren. Wer Polynome sicher teilen kann, ist bestens vorbereitet für viele weitere Herausforderungen in der Mathematik.
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